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2.3 永磁同步电机的矢量坐标变换及数学模型
数学模型是运用数理逻辑方法和数学语言建构的科学或工程模型。通过它我们可以将一 个实际工程对象用数学语言进行表达，然后对其展开工程上的研究，最后在进行反推，将研 究成果应用到实际对象中。这样既能帮助我们更好的了解控制对象，也可以简化分析过程。 所以，本文要研究永磁同步电机的控制，就必须先建立可行的数学模型。然而，要直接建立 和分析 PMSM 复杂的数学模型是十分困难的，因此对永磁同步电机相关矢量参数进行矢量坐 标变换来简化其数学模型是必要的。
2.3.1 矢量控制系统中的坐标变换 在矢量控制系统中使用较多的的三种坐标系如下[16]： (1) 三相静止坐标系(ABC 坐标系)
如图 2.3，定子三相绕组方向就是各轴线方向，且呈三相对称分布。 (2) 两相静止坐标系(α-β 坐标系)
如图 2.3，α 与 A 轴同向，β 与 α 逆时针垂直。
(3) 两相旋转坐标系(d-q 坐标系)
如图 2.3， 以转子 N 极方向为 d，q 逆时针垂直于 d，与转子一起运动。
图 2.3 永磁同步电机矢量坐标系及相关参量关系图
由图 2.3 知，各坐标系中的矢量可以互相转化，转化关系有四种，分别是 Clark 和 Park， 还有两者的逆变换，下面给出各坐标系中矢量转换的转换矩阵。
ABC 转化到 α-β，矩阵如下：
相反，α-β 转化到 ABC，矩阵如下：
同理，从 α-β 转化到 d-q，矩阵如下：
同理，从 d-q 转化到 α-β，矩阵如下：
相应矢量的坐标变换只需乘上相应的变换矩阵就可以实现转换，逆变换也同理。
2.3.2 永磁同步电机数学模型的建立
在建立数学模型之前，我们需要先做以下几点假设：
（a） 磁路为线性；
（b） Y 型连接的定子绕组排列方式和 ABC 坐标系三条轴线相同，且定子电势呈正弦状 态；
（c） 为了便于分析和计算，对于影响不大的转子阻尼和谐波效应我们都忽略不计；
（d） 磁路饱和、磁化不可逆性和线圈之间相互作用会产生感应电流，这些都不列入考 虑范围。
在这几点假设下建立的数学模型结构较为简单，大大简化了计算过程，且最终的分析结 果与实际控制对象相差不大，具体建模数学过程如下。
（1）在 ABC 三相静止坐标系中
如图 2.3，在 ABC 三相静止坐标系中，永磁同步电机电阻压降和磁链变化与绕组电压保 持平衡，所以有电压方程：
式中: 、 、 ——三相定子绕组相电压；
、 、 ——三相定子绕组相电流；
、 、 ——三相绕组全磁链；
——定子绕组电枢电阻。 磁链方程为：
式中： = = ——定子各相绕组自感系数； = ——定子绕组互感系数，X、Y 不同，取 A、B、C； ——转子永磁体励磁磁链；
——转子 N 极与 a 轴方向的夹角。 从以上方程（2.5）和方程（2.6）可以看出，该数学模型在计算中会涉及到转子在任意时
刻的位置，模型复杂，且不是线性方程，所以采用该数学模型来分析永磁同步电机的控制就
显得十分困难。
（2）在 α-β 坐标系中
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