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定理1 设 在 连续，且 ，则一定存在 的某个邻域，使 在此邻域内连续.
证明 因 在点 连续，即 ，都有
现对 ，由上式显然有
又 ，当 充分小时，由局部保号性有
> >0,
即 ，从而有
可见 在 连续，由 的任意性，知 在 的 邻域内连续.
因此，函数的连续性是一种按点而言的连续性，它仅仅反映的是函数在区间上一点附近的局部性质，而不能判断在某一区间上的整体性质.
1.1.2函数一致连续的整体性
定义2 设函数 在区间 上有定义，若对 ， ， ，只要 ，就有
则称函数 在区间 上一致连续.
⑴ 定义中的“一致”指的是什么意思呢？与函数 在区间 上连续的定义进行比较，不难发现，在函数连续定义中的 ，不仅仅依赖于 ，还依赖于点 在区间 中的位置，即 .而 在 上一致连续是指，存在这样的 它只与 有关而与 在区间 中的位置无关，即 .可以说，如果函数 在区间 上连续，即对于任意给定的正数 ，对 上的每一点 ，都能分别找到相应的正数 ，使得对 上的任意一点 ，只要 ，就有 ，其中 ；而对于函数的一致连续性来说，对于同一个 而言，当 在 上变动时， 的大小不变，即 仅仅依赖于 .可见，“一致”指的是存在在I上所有点 的公共 ， 与 有关，与 无关. ⑵ 函数一致连续的实质是指当在这个区间的任意两点越靠近，它们对应函数值差的绝对值就越小.更直观的是说，可以任意小,即对于任意的 ,只要 时,就有 .