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这里可能会产生这样的疑问：既然对 中每一个点 都能找出相应的 ，那么取这些 的最小者或者是下确界作为正数 ，不就使其与点 无关了吗？事实上，这不一定能办到.因为区间 中有无穷多个点，从而也对应着无穷多个正数 ，这无穷多个正数却未必有最小的正数或下确界.
所以， 在区间 上一致连续反映出 在 上各点的“连续”程度是否步调“一致”这样一个整体的性质.
1.2 函数连续性与函数一致连续性的联系
定理2 函数 在区间 上一致连续，则 在 上连续.
这个定理显然成立，只须将其中的一个点（ 或 ）固定即可，但是 在 上连续，函数 在区间 上却不一致连续.
例1 证明函数 在 内不一致连续（尽管它在 内每一点都连续）.
证明 取 ，对 （ 充分小，不妨设 ），取 ，
则虽然有