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定义2[4] 设曲线 是参数方程
, , .
若 与 在 连续,且不同时为 （或 ,有 ）,则称 是光滑曲线.
定理1[2] 参数方程的一般形式是 , , 均可导,且 , 存在反函数 ,则 是 的复合函数, .
由复合函数和反函数的求导法则,可知
. (1)
(1)式即为参数方程的求导公式.
定理2[4] 设曲线 的参数方程为 , , 与 都在 上连续,且 在 上严格单调, 在 上连续,则由曲线 及直线 , 和 轴所围区域的面积为 .
2.参数方程在微积分中的应用
参数方程是高等数学中的重要教学内容,它在微积分的应用中有着十分重要的意义.在函数的高阶导数,曲线的弧长,平面区域的面积等微积分中的问题时,运用参数方程法可以把复杂繁琐的问题变得直观、简洁化,最终达到解决问题的目的.本文针对这几个方面的内容进行的较为细致的分析和探讨.
2.1利用参数方程求函数的二阶导数
在参数方程所确定的函数的高阶导数的求导中常用的求导的方法有消元求导法,复合函数求导法和反函数的求导法等.本节在传统求导方法的基础上针对参数方程所确定的函数求高阶导数这一难点,引入了两种新的求导方法,变量互换法和逐次微商法.