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摘要本课题通过对数域上有限文线性空间概念的推广—有限群上的模的概念介绍及相关性质的讨论，着重证明了Schur’s 引理的两个基本形式，即与群作用可交换的不可约模线性映射是同构，特别是在代数闭域复数域上此同构只能是数量同构。35549
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毕业论文关键词：可约表示、线性变换、同构映射、模
Abstract
This dissertation emphatically proves two basic forms of the Schur’s Lemma through introducing the concept and discussing some related properties of module over a finite group which is a generalization of the notation of vector space over a field.The lemma tells us a homomorphism on an irreducible module is an isomorphism, especially is a scalar isomorphism over complex number field.
Keywords: reducible representation, linear transformation, isomorphic mapping, module
目录
摘要 3
Abstract 3
第一章 绪论 4
1.1课题的目的和意义 4
1.2国内外研究现状和发展趋势 4
1.3研究内容 5
第二章 预备知识 5
2.1 线性空间相关知识 5
2.2 模的定义及其一些性质 8
2.3 群表示定义 12
第三章 Schur’s 引理的证明 13
3.1 有限文表示下Schur’s 引理 14
3.2 有限文复表示下Schur’s 引理 16
第四章 总结 18
参考文献 18
谢辞 19第一章 绪论
1.1课题的目的和意义
Schur’s引理是群与代数的表示论中一个初等但非常有用的命题。在群的情形是说，如果 与 是群 的两个有限文不可约表示， 是从 到 的与群作用可交换的线性映射，那么 可逆或 。一个特例是 而 是一个到自身的映射。这个引理以伊赛•舒尔命名，他使用这个引理证明了舒尔正交关系，奠定了有限群的表示论的基石。Schur’s引理可以推广到李群与李代数，其最通常的形式属于雅克•迪斯米埃理论，在量子物理与数学的各领域中均有重要应用，是数学中抽象代数的一支。旨在将代数结构中的元素“表示”成向量空间上的线性变换，藉以研究结构的性质。Schur’s 引理在表示论里是一个既简单又重要的结论，本课题着重讨论群的有限文线性表示中该引理的出现形式。
1.2国内外研究现状和发展趋势
Schur’s引理是表示理论中一个非常重要的结论。当代研究已经将一般Schur’s引理推广到0阶化Schur’s引理，而一般Schur’s引理作为0阶化Schur’s引理的特殊情形这种阶化的推广具有良好的理论意义。首先在模表示理论中的一个Schur’s引理的基础上，推广得到0阶化Schur’s引理，一般的Schur’s引理是0阶化Schur’s引理的特殊情形。然后，作为Schur’s引理的一个应用，在李代数模的Casimir元素的基础上，定义并讨论了李超代数模的Casimir元素，得出了李超代数模的Casimir元素是数乘变换的一个充分条件。Schur’s引理逆命题证明出来后，恒成立的Artin环实质上就是局部环。多元函数的Schur’s—凸性理论是重要的研究课题，国内外众多学者讨论多元函数的Schur’s—凸性问题。某些著名平均值(如算术平均，几何平均，调和平均，根平方平均等)的商进行了讨论，并研究了Schur’s—凸性、Schur’s—几何凸性以及Schur’s—调和凸性问题，得到了几个一般结果。这对探索数学物理问题中几类无限文分次李代数的形变理论做出了巨大的贡献。一般地,Schur’s引理的逆命题并不成立，有预投射分支的有限表示型代数都是这种反例。从1904年到1910年，Hilbert连续在文章中应用矩阵来研究积分方程，然后又将积分方程应用到数学物理问题中。1925年，海森堡(wemer Heisenberg)的无穷矩阵理论被应用到量子论上，矩阵力学形成。1927年，希尔伯特等人开始用积分方程等分析工具研究量子理论，在抽象希尔伯特空间中研究量子力学特征值等问题。20世纪40年代，由于电子计算机的应用，数学向其它科学领域广泛渗透。现代数学在向外渗透的过程中，数学的核心领域越来越抽象，许多高度抽象的理论被证实是其它科学和生产实践普遍使用的工具。作为工具的矩阵又有了新的含义，特别是在矩阵的数值分析等方面。1947年，诺依曼与戈德斯坦发表论文《高阶矩阵数值求逆》，处理了高阶矩阵的求逆问题。20世纪50、60年代，随着现代数字计算机的飞速发展和广泛应用，许多实际问题可以通过离散化的数值计算得到定量的解决。如利用矩阵借助于计算机实现了线性代数方程组的近似求解问题。于是作为处理实际问题的矩阵代数，成为从事科学研究和工程设计的科技人员必备的数学基础。