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三、解析计算时期
欧洲的文艺复兴带来了一个崭新的数学世界，π数学公式的出现使圆周率的计算进入了一个新的阶段，人们为了获得圆周率的值也作了下面的尝试：
π在1767年被兰伯特（1728-1777）[6]证明是无理数；它也被林德曼（1852-1939）在1882年证明是个超越数；布冯（1707-1788）[8]是第一个通过随机实验获得π值的。
四、计算机时期
计算机的出现, 使圆周率的计算进入一个更新的时期，这也许是它的最后一个时期。1949年计算机ENIAC用70分钟的时间把π计算到2037 位以来，到1999年东京大学的Kanada和Takahashi用两台超级计算机花费了73小时把π计算到68,719,470,000位，这期间由于计算机运算速度的加快，计算位数越来越多，相对使用时间越来越短。由于单纯地通过计算机去追求更高的数位已经毫无意义，计算的原因，正如东京大学的Kanada所说的：“我们进行π运算的主要原因是检验我们计算机的可靠性和对于运算、程序和算法的正确性，成为世界记录的保持者只是它的一个副产品而己。”
1.2 圆周率的应用
1.2.1 用圆周率来测试计算机性能
现在，圆周率被人们用来测试或检验超级计算机的各项性能，特别是运算速度与计算过程的稳定性，这对计算机本身的改进至关重要。
就在几年前，当Intel公司推出奔腾(Pentium)时，发现它有一点小问题，这问题正是通过运行π的计算而找到的。这正是超高精度的π计算直到今天仍然有重要意义的原因之一。
1.2.2 密码的编制[9]
随着信息科学技术的发展, 人们在享受信息科学技术带来的方便与快捷的同时, 也承受着信息被篡改和泄露以及计算机病毒和黑客入侵等安全威胁问题。为了防止这些威胁的入侵, 作为数学的另一个分支---密码学诞生了, 编制难以被人破译的密码是密码学始终的目标, 这门学科的宗旨在于保护消息在传输过程中的安全。由于π是一个超越数, 特别是它均匀分布的性质, 为它在密码编制方面发挥独特作用提供了得天独厚的优势。我们可以把π看作是一个取之不尽的“码源”, 源文中每个字符使用密码的个数与它出现的频率成正比, 从而使使用传统的统计分析几乎无法破译, 而唯一的一个缺陷可能是: 密文的长度为源文的几倍, 但由于现代通信技术的发展, 这已不成为障碍。
1.2.3 π与人类经济学的联系[10]
π出现在数学、物理学及其他自然科学领域中，然而却很少与人类经济学联系在一起。香港中文大学的Terence Tai-Leung Chong教授用两个独立正态随机变量协方差的次序统计，应用经济和金融数据的回归，从股票指数、汇率和国民收入核算数据中计算出了π值，表明许多经济时间序列是一阶独立增量和正常增量的综合。在这方面，π值与人类经济学方面的研究将是未来一个非常有趣和重要的课题。
1.3 课题的研究意义
古往今来，从没有哪一个数学常数能像圆周率那样吸引众多的学者，圆周率在各个时期的文明中都像一颗闪耀的明珠, 它往往能够在一定程度上折射出该时期的数学发展水平。世界各国数学家对圆周率计算的研究，并非单纯为了实际计算的需要，其价值在于研究圆周率过程中产生的新的数学思想、方法和一些数学分支，推动数学学科的发展。
2 圆周率现有的计算方法
2.1 割圆法
割圆法[11]是古人计算圆周率π近似值的方法，用圆的内接正多边形的面积以及圆的外切正多边形的面积逼近圆的面积。因为单位圆的面积恰好等于π，因此π必介于单位圆的内接正多边形的面积与外切正多边形的面积之间，由此可以建立夹挤方法得到π的近似值。