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摘要:本论文介绍了描述实数连续性的定理——区间套定理,系统阐述了区间套定义,区间套定理,重点介绍了应用区间套定理证明实数完备性中的相关定理,拉格朗日中值定理,根的存在性定理以及在求极限上的应用.进一步探究了区间套定理与生活的联系.本文有助于读者了解及推广区间套定理在实际生活中的应用. 9068
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关键词:闭区间套定理;实数完备性;极限;拉格朗日中值定理
Neste Interval Theorem and its application
Abstract:This paper introduces the description of real number continuity theorem -- interval sheath theorem,Introduced the interval defined, nested interval theorem, it focuses on the application of nested interval theorem proving theorems in real number completeness, Lagrange mean value theorem, the existence theorem of root and the application in the limit.To further explore the nested interval theorem and the life relation.This application can help readers to understand and extension theorem of nested interval in real life.
Key words:The closed interval theorem;Completeness of real number;limit;Lagrange mean value theorem.
目 录
摘 要 1
引言 2
1.预备知识 3
2.区间套定理在证明一些定理中的应用 4
2.1实数完备性相关定理中的应用 4
2.2区间套定理证明拉格朗日中值定理 7
2.3区间套定理证明根的存在性定理 9
3.区间套定理在求极限中的应用 10
4.区间套定理在实际生活中的应用 13
结束语 14
参考文献 15
致谢 16
区间套定理及其应用引言
在实际问题中精确解往往求解不出来,但是我们可以求高度逼近的近似解,而闭区间套定理的本质体现了逐步逼近的思想,定理中所有闭区间套的交点实际上是问题的精确解,闭区间套就是不断在逼近解的区间,最后区间长度趋于零,问题的解得到.
区间套定理是数学分析中的一个重要定理,它同聚点定理、有限覆盖定理、确界原理、单调有界定理、柯西收敛准则一样都反映了实数的完备性.是学习实变函数、复变函数、点集拓扑学等课程的基础.文献[1]、[2]介绍了区间套,区间套定理及区间套定理在证明实数完备性中一些定理的应用，文献[3]介绍了区间套定理在求极限上的应用,文献[8]将区间套定理的应用推广到实际生活中,扩大了其应用范围.
在数学分析教材中,闭区间套定理是描述实数完备性的定理,只在证明实数连续性定理的等价性和闭区间上连续函数的性质时应用过它.本文不仅叙述闭区间套定理在证明一些定理上的应用,而且叙述如何应用区间套定理求极限,证明拉格朗日微分中值定理.证明零点定理.同时将区间套定理与实际生活相联系,扩大区间套定理的应用范围.
1.预备知识
定义 设闭区间列 有如下性质:
则称{ }为闭区间套,或简称区间套.
这里性质(i)表明,构成区间套的闭区间列是前一个套着后一个,即各闭区间的端点满足如下不等式:
定理1 区间套定理 若 是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点 ,使得 , 即
证 由(1)式, 为递增的有界数列,根据单调有界定理, 存在极限 ,且有