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同理可得递减的有界数列 也存在极限,并按区间套的条件(ii)有
联合(3)、(5)即得(2)式.
最后证明满足(2)的 是唯一的.设数 也满足
则由(2)式有
由区间套的条件(ii)得
故有 .
推论 若 是区间套 所确定的点,则对任给的 ,存在 ,使得当 时有
注 区间套定理中要求各个区间都是闭区间,才能保证定理的结论成立.对于开区间列,如 ,虽然其中各个开区间也是前一个包含后一个,且 ,但不存在属于所有开区间的公共点.
2.区间套定理在证明一些定理上的应用
2.1实数完备性中相关定理定理
2.1.1 用闭区间套定理证明魏尔斯特拉斯聚点定理
证 为一有界点集,则存在 ,使得 .
现将 等分为两个子区间.因为 为无限的点集,所以至少有一个子区间含有 中的无穷个点,记为 ,则 ,且
将 等分为两个子区间.那么至少有一个子区间含 中无穷个点,记这个区间为 ,则 ,且
将这样的手续无限进行下去,则得到一个区间列 ,满足
即 是闭区间套,且每一个闭区间全都含有 中无穷个点.由区间
套定理,存在唯一一点 为 中的点,对任意的 ,存在 ,当 时有 .从而 中含有 中无穷个点,则 为 的聚点.
2.1.2 用区间套定理证明有限覆盖定理
证明 假设该定理结论并不成立,即不存在 中的有限个开区间覆盖 .
将 等分为两个区间,则至少有一个区间不能用 中的有限个开区间来覆盖.记这个区间为 ,则 ,且
将 等分为两个区间,其中有一个区间不能用 中的有限个开区间来