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如果 是奇数，则 也是奇数；但（3）的左端是偶数，所以（3）不能成立.因此，要使（3）成立，必须使 是偶数，即可设 ， 为正整数.于是， ， 具有公因子2；这与假设 互为质数矛盾.这就证明 不是有理数.因此仅有有理数，2平方米的正方形钢板的边长就不能表达出来.有理数不够用，还需要再加扩充，成为实数，包括有理数及无理数.例如， ，…都为实数，其中 …为有理数， ， ，…为无理数.
在解析几何、微积分中，用到的数主要是实数.然而，在很多实际应用中实数的力量却又显得极为单薄，比如在处理工程技术问题时可能出现的方程
. (4)
在实数范围内就找不到解.我们知道，实数不外乎就正数、负数和零三类，而正、负数的平方均为正数，零的平方为零，所以，不存在任何一个实数的平方等于-1.因此，对解代数方程来说，只有实数就感觉不够用了.于是，又产生了复数.复数的表达形式为 ，这里 ， 都是实数； 叫做虚数单位，具有这样的性质： .
为了研究该课题我认真查阅了大量的有关复数和数学史的文献资料，其中，文献[1]、[2]、[5]、[11]、[14]等介绍了复数的起源；[2]、[3]、[4]、[8]、[11]等叙述了复数的发展；[7]、[9]、[12]等总结了复数产生的历史意义；[6]、[10]、[13]、[16]等给出了复数在若干领域的应用.
1.复数的起源
其实所谓复数的引入是有许多原因必须使得数的概念要超出实数的连续性的.人们必须认识到，在数学发展史上，在数学思想的发展过程中，所有这种推广和新的发明决不是个别人努力的结果.它们是具有继承性的逐步演化的过程的产物，而不能把主要功劳归于某个人.为了便于作形式计算，需要用到负数和有理数.它们并不像自然数那样直观和具体，直到中世纪末，数学家们在用到这些概念时才开始失去不舒服的感觉，因为他们逐渐意识到了扩充数域的含义，即对于一个扩充数域来说，必须要通过定义来创造，即使这些定义是随意的，而至于其扩充数域运算的逻辑性等都是形式主义的.但是，如果不能在更大的范围内保持在原来范围内通行的规则和性质，它是毫无用处的.这些扩充有时可以和“实际”对象相联系，通过这种方式为新的应用提供工具，这是最重要的，但是这只能提供一种动力而不是扩充的合理性的逻辑证明.
复数的起源被视为是数学史中的奇特一章.最初引入复数纯粹是由求解代数方程而提出的，而不是按现在教科书中所描述的逻辑顺序建立起来的.
早在公元前二千多年前，古巴比伦人就已经开始接触一元二次方程和一元三次方程，而且那个时代他们就已经掌握了一元二次方程的解法. 公元第三世纪，古希腊数学家丢番图(Diophantus，200－284)在他的著作《算术》中碰到一个让他很棘手的问题，即“不可约”一元二次方程 的求解，可是他当时并没有想出该如何解出此一元二次方程，同时复数的概念在这个时侯已经算是隐约有显.等时间走个四个世纪，一元二次方程的求解公式才被印度数学家巴拉马古确切得出. 公元第十二世纪，印度数学家婆什迦罗(Bhaskara,1114－1185)说过这样一句话，“任何一个正数的平方都是正数，并且任何一个正数都有一正一负两个平方根，虽然任何一个负数的平方也都是正数，但是与正数不同的是，负数并没有平方根，因为负数不是一个平方数.”
在欧洲，好多数学家在讨论一元二次方程的根时都遇到了△﹤0的情形，其中有西班牙的巴希亚(BarHiyya，1070－1136)、法国的丘凯(N．Chuquet，1445－1488)、意大利的斐波纳契(Lfibonacci,1170－1250)以及帕西沃里(LPacioli,1445－1517).所以，在欧洲人糊里糊涂地陷入我们所说的复数问题时他们还没有真正搞清楚负数和无理数带来的困惑.