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1484年，法国数学家舒开（N．Chuquet，约1445—1500）提出了“每个代数方程都应该有根”的新思想，而且在他的著作《算术三编》中他明确公开一元二次方程 的根 是没有意义的，既然能得到这样的根却又说它们是无意义的，估计舒开本人当时是极不愿意相信负数开平方的事实吧.但是不管怎样，这种形式意义上的负数的平方根还是产生了，不过它只是一种天才的猜想而已.当时无论是理论逻辑还是实际需要都不能给人们探求一元二次方程求解等此类问题的动力，所以复数不在一元二次方程的求解过程中产生也就不足为奇了.
16世纪,被世人称为“怪杰”的数学家意大利人卡当(G.Cardan,1501－1576)在他的新作《重要的艺术》（1545年）中给出了一元三次方程的一般解法，即：
这就是我们所说的“卡当公式”，当时复数被他自己称为“诡辩量”.作为敢在公式中运用负数平方根的先驱，卡当在探究能否把10分成两部分，并且要让这两部分的乘积为40时，他给出了 的解答，虽然他本人也觉得此表达式是毫无意义、虚幻缥缈的.
即便卡当自己无法解释这种数，乃至一度拒绝它们，还说：“算术便是如此神奇精致，它最基本的特征，像我所说，虽精巧却没用.”但毕竟这是具有历史意义的一刻，卡当成了数学史上第一个写下负数平方根的人.不经意的一笔却为虚数的发展播下了种子.
其实提到“卡当公式”就必须要提到另一位伟大数学家，他就是意大利人塔塔格里亚(N．Tartaglia,1499－1557)，塔塔格里亚与卡当差不多处于同一时代，他是第一个得到一元三次方程 求根公式的人，其解用现代符号可表示为
.
在此公式应用的解释说明中，他仍然谨慎防止出现“不可约”（即判别式 ）的情形. 所以从某种意义上来讲，卡当的成功还是要感激他的这位意大利同胞的.
历史上第一个意识到虚数重要性的数学家是跟卡当同时代的意大利人邦贝利(R.Bombelli，约1526—1573)，邦贝利是个善于钻研又有倔强数学态度的人，所以就算是距《重要的艺术》一书发表已有长达二十七年的时间，他仍然不厌其烦的去尝试一元三次方程的另一种求解.经过仔细的分析试验，他发现三次方程 有一根 ；但运用卡当公式时却出现了卡当和塔塔格里亚曾经遇到过的“不可约”情形：
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面对这样的矛盾，邦贝利有个“疯狂”的猜想：既然 与 只相差一个符号，那么它们的三次方根也应该只相差一个符号.于是他设
， ,
由此解出 .于是得到
.
他说：“我找到了一种同其余类型大相径庭的三次方程根复合表达式.由于当那个量的一半的平方小于其 的立方时，不足量既不能说是正的也不能说是负的.然而，如果你想减去它，我叫它负之负，如果你想加上它，我叫它负之正.这种根貌似是人为的，不真实的.除非我们给予它充分的几何证据（即在平面上证实以上情形）”.然后，邦贝利又对虚数的运算法则进行了探究，比如两个虚数单位负之正与负之正的乘积就为负（即 ）.接着，他证明了 ，由此得到 .
这就使得当时的数学家们感到困惑不解，如果不经过负数开平方的运算，就不可能用准确无误的卡当公式得到三个实数根，虽然当时还没有真正弄清怎样运用卡当公式，但是透过很多一元三次方程求解的示例我们可以发现：若对于一元三次方程有三实根就不可避免有负数开平方情形的出现，于是矛盾油然产生，这便激起了一大批数学家探究寻解此矛盾的兴趣，然后，对于复数的研究就有了新的突破.