开环不稳定。称球杆系统是不稳定系统,是因为即便导轨的俯仰角是固定的,小球的位置仍是未知的。小球可以停留在水平导轨的任何位置并保持平衡,但是当导轨受到一个微小的扰动后,小球就无法回到原来的位置。对于一个固定的导轨俯仰角,小球会以一个固定的加速度运动直到停在导轨的低端。
典型的二阶系统。对包括电机在内的球杆系统进行建模分析,可以发现该系统是一个典型的二阶系统(电机已用运动控制卡控制),如果忽略摩擦力,它也是一个无阻尼系统。
因为机械结构的特点,存在一些实验的难处,不稳定的系统容易对实验人员产生危险或不可预料的伤害,球杆系统相对而言,机械比较简单,结构比较经凑,安全性也比较高,是一个可以避免这些危险和伤害的实验设备。
2.2 球杆系统的数学模型
控制系统的数学模型是描述系统的输入、输出变量以及内部各变量之间关系的数学表达式,建立描述控制系统的数学模型,是控制理论分析和设计的基础。对数学模型的要求是,既要能准确地反映系统的动态本质,又便于对系统进行分析和设计。在遵循上述原则的基础上,本课题将球杆系统的模型分解成3部分:球杆机械部分模型、角度模型和电机模型。
2.2.1 机械部分的数学模型
球杆系统是一个十分复杂的运动过程,如果用牛顿力学定律对该过程进行分析,要涉及到多个坐标之间的转换,实现起来比较麻烦。而拉格朗日动力学方程式从能量角度来对系统建立平衡方程,它把复杂的坐标转换变成简单的能量转化。下面是用拉格朗日方程来求球杆系统动力学方程的过程。
图2.1球杆本体模型
图2.1中, L为导轨长度,R1为小齿轮半径,R2为大齿轮半径,r为小球位置,α为导轨偏离水平位置的角度,Ө为导轨偏离水平位置后大齿轮相对水平方向转过的角度,β为导轨偏离水平位置后小齿轮相对水平方向转过的角度,小球半径为R,小球转动惯量J。
这里,定义(r,α)为广义坐标,r表示小球在球杆上的位移,α表示球杆的水平倾角。
首先,分析系统的动能。设质量为m的刚体球在在直角坐标系下的位置为(x,y),与广义坐标系之间有如下关系: x=rcosα ,y=rsinα
所以其速度关系为:
x ̇=r ̇cosα-rα ̇sinα, y ̇=r ̇sinα+rα ̇cosα (2.1)
这样,求出小球沿广义坐标r方向运动的动能如下:
T_1=1/2 m(x ̇^2+y ̇^2)=1/2 m(r ̇^2+r^2 α ̇^2) (2.2)
同时小球在沿球杆导轨运动时,还有沿自身径向的转动,其转过角度与小球的位置有如下关系:
令σ=r/R, σ为小球绕自身旋转的角度,R为小球的半径,r为小球子球杆上的位移。这样可以到其角速度为σ ̇=r ̇/R ,因此,小球绕径向转动的动能为:
T_2=1/2 Jσ ̇^2=1/2 J r ̇^2/R^2 , (2.3)
其中J为小球的转动惯量,且J=2/5 mR^2
而球杆饶其固定端转动时的动能如下:
T_3=1/2 J_l σ ̇^2 , (2.4)
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