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图3.9修改控制参数后的闭环阶跃响应
通过对球杆系统频率响应的控制方法的研究，确立了球杆系统的数学模型，并熟悉了MATLAB相关频率响应控制的语言命令，对球杆系统的控制思想有了明确的认识，接下来本课题将用二次最优控制来设计一个控制器，使小球稳定在平衡点位置。4 二次最优控制理论基础
4.1 最优控制简介
最优控制理论是现代控制理论的重要组成部分，其形成与发展奠定了整个现代控制理论的基础。早在20世纪50年代初，就开始了对最短时间控制问题的研究；随后由于空间技术的发展，越来越多的学者和工程技术人员投身于这一领域的研究和开发，逐步形成了一套较为完整的最优控制理论体系。
最优控制理论研究的主要问题是：根据已建立的被控对象的时域数学模型或频域数学模型，选择一个容许的控制律，使得被控对象按预定要求运行，并使给定的某一性能指标达到最优值。
近年来，由于计算机的飞速发展和完善，逐步形成了最优控制理论中的数值计算法。当性能指标比较复杂，或不能用变量显函数表示时，可以采用直接搜索法，经过若干次迭代，搜索到最优点。同时，由于可以把计算机作为控制系统的一个组成部分，以实现在线控制，从而使最优控制理论的工程实现成为现实。因此最优控制理论提出的求解方法，既是一种数学方法又是一种计算机方法。
时至今日，最优控制理论的研究，无论在深度和广度上，都有了很大的发展，并日益与其他控制理论相互渗透，形成了更为实用的学科分支。如鲁棒最优控制、随机最优控制、分布参数系统的最优控制及大系统的次优控制等。可以说，最优控制仍是正在发展中的、极具活跃的学科领域之一。
4.2 线性二次型问题
如果研究的系统为线性，所取的性能指标为状态变量与控制变量的二次型函数，则这种动态系统的最优化问题，称为线性二次型问题。由于线性二次型问题的最优解具有统一的解析表达式，且可导致一个简单的状态线性反馈控制律，便于计算和实现闭环反馈控制，因此引起了控制工程界的极大关注，成为最优控制理论及应用中最成熟的部分。
线性二次型最优控制除易于实现、具有工程性外，还具有如下鲜明的特点：线性最优控制的结果可以应用于工作在小信号条件下的非线性系统，其计算和实现比非线性控制方法容易；线性最优控制器设计方法可以作为求解非线性最优控制问题的基础；线性最优控制除具有二次型性能指标意义上的最优性外，还具有良好的频率响应特性，可以实现极点的最优配置，并可抗慢变输入扰动，从而沟通了现代控制理论与经典控制理论之间的联系。
线性二次型的最优控制的基本内容可以分为：最优状态调节、最优输出调节和最优跟踪。可以证明，最优输出调节问题和最优跟踪问题都可以化为最优状态调节问题。
研究线性二次型问题，一方面是因为这类问题在工程实际中经常遇到；另一方面是因为在数学处理上比较简单，可以得到用解析形式表达的线性反馈控制规律，便于工程实现。
设线性时变系统的动态方程为
x ̇(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t),x(t_0 )=x_0
y(t)=C(t)x(t)x(t) (4.1)
式中x(t)为n文状态向量，u(t)为m文控制向量，y(t)为l文输出向量；A(t)、B(t)、C(t)为文数适当的时变矩阵，其各元分段连续且有界，在特殊情况下可以是常阵A、B、C。假定0<l≤m≤n,且u(t)不受约束。
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