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    在工程实际上总是希望这样来控制系统:使系统输出尽量接近某一希望输出。若令y_l (t)表示 l文希望输出向量,则
    e(t)=y_l (t)- y(t)                    (4.2)
    称为误差向量。要求确定最优控制u^* (t),使下列二次型性能指标极小:
    J=1/2 e^T (t_f )Fe(t_f )+1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒[e^T (t)Q(t)e(t)+u^T (t)R(t)u(t)]dt       (4.3)
    式中F为l×l文对称非负定长阵,Q(t)为l×l对称非负定时变矩阵,R(t)为m×m文对称正定时变矩阵,初始时刻t_0和末端时刻t_f固定。在之后的问题讨论中,若非特别指出,以上假定始终满足。
    为了便于工程应用,性能指标(4.3)中的权矩阵F、Q(t)和R(t)往往取为对角型矩阵,则其对称性自然满足。需要指出的是,如何根据系统的实际要求选择加权矩阵的诸元,绝不是一个简单的问题,其理论和方法至今尚未能很好的解决。
    在二次型性能指标(4.3)中,其各项都有明确的物理含义。现分述如下。
        末值项
    φ[e(t_f )]=1/2 e^T (t_f )  Fe(t_f )                    (4.4)
    不失一般性,取F=I,表示对末态误差要求的各元加权,则有
    e^T (t_f )  e(t_f )=‖e(t_f )‖^2=├ (√(e_1^2+e_2^2+⋯+e_l^2 ))^2 ┤|_(t=t_f )
    此时,末值项表示t_f的跟踪误差,即末态误差向量e(t_f )与希望的零向量之间距离平方和。
    当F≥0时,表示对末态跟踪误差的各元有不同的要求。若取
    F=diag{f_1,f_2⋯,f_l,}≥0
    则式(4.4)可以表示为
    φ[e(t_f )]=1/2 ∑_(i=1)^l▒〖f_i e_i^2 (t_f ) 〗
    式中系数1⁄2是为了便于计算,此时,末值项表示末态跟踪误差向量e(t_f )与希望的零向量之间的距离加权平方和。
    由此可见,二次型性能指标中的末值项,表示在控制结束后,对系统末态跟踪误差的要求。由于在有限时间t_f内,系统难以实现e(t_f )=0,因此要求φ[e(t_f )]位于零的某一邻域内,既符合工程实际情况,又易于满足。
    如果对末态跟踪误差不必限制,则可取F=0.此时性能指标J变为积分型。
        第一过程项
    ∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_e dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖e^T (t)Q(t)e(t)dt〗                                           (4.5)
    若取
    Q(t)=diag{q_1(t) ,q_2(t) ,⋯q_l(t)  }≥0
    则有
    L_e=1/2 e^T (t)Q(t)e(t)=1/2 ∑_(i=1)^l▒〖q_i (t) e_i^2 (t) 〗≥0
    于是式(4.5)可以表示为
    ∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_e dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖∑_(i=1)^l▒〖q_i (t) e_i^2 (t) 〗 dt〗
    上式表明,第一过程项表示在系统控制过程中,对动态跟踪误差加权平方和的积分要求,是系统在运动过程中动态跟踪误差的总度量。
        第二过程项
    ∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_u dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖u^T (t)R(t)u(t)dt〗                                (4.6)
    若取
    R(t)= diag{r_1(t) ,r_2(t) ,⋯r_m(t)  }>0
    则有
    L_u=1/2 u^T (t)R(t)u(t)=1/2 ∑_(i=1)^m▒〖r_i (t) u_i^2 (t)>0〗
    于是式(4.6)可以表示为
    ∫_(t_0)^(t_f)▒〖L_u dt〗=1/2 ∫_(t_0)^(t_f)▒〖∑_(i=1)^m▒〖r_i (t) u_i^2 (t) 〗 dt〗
    上式表明,第二过程项表示在系统控制过程中,对系统加权后的控制能量消耗的总度量。
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