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势函数满足波动方程如式（3-8）：
边界条件为如式（3-9）：)
式中 ——线弹性理论范围内的应力张量分量。
势函数代入波动方程求解并整理得（3-10）：
式中 ， ——Bessel函数 、 或修正Bessel函数 、 如式（3-11）
(3-11)
利用规范的不变性，三个等容势函数中的任一个可取零。令h2=0，得hr=． ，
得出最终位移、应力分别为如式（3-12）和（3-13）：
代入边界条件式（3-14）可得线性边界方程组
(3-14)
由边界方程组可确定系数A、B、A1、B1、A2、B2。为了确保方程组系数有非零解，行列式必须为零，即
该方程即为空心圆管中纵向导波的频散方程[11]
3．1.4 管结构中导波的频散曲线
不同模态的导波在管中的位移、应力和能量分布各不相同，对管中不同位置、深度处的缺陷具有不同的检测灵敏度[15]。Lowe等开发的Disperse软件可以计算出一定频段范围内各种模态导波在相应管道中传播的频敖曲线。软件计算出的各模态导波在内直径77．9mm、壁厚5．5mm的40钢管中的频散曲线如图3.1所示。由频散曲线得出，在较宽的频带范围内，F（0，2)模态导波基本非频散且波速最大；T(0，1)模态导理论上是非频的。
图3.1 管中导波的频散曲线(钢管内直径77．9mm，壁厚5．5mm)
3．1.5 频散现象的抑制方法
采用信号重建激励的方法实现对导波模态频散现象的抑制。信号重建激励方法的基本思想是，若在管道中激励一个单音频加窗信号，由于频散的影响，经过长距离传播之后，各模态的波包将会变长，则与较高群速度对应的频率分量将会处于波包的前部，而与较低群速度对应的频率分量将会处于波包的后部，若将所接收到的波包在时域进行反转后重新激励，则与较低群速度对应的频率分量将会处于波包的前部而与较高群速度对应的频率分量将会处于波包的后部，由此所要接收到的模态应该与最初的单音频加窗激励信号相同。计算表明，通过对接收信号进行时域翻转，并在激励端重新激励，所得信号与原来的激励信号相同，这样可以抑制频散现象。信号重建激励方法虽然可以抑制导波模态的频散现象，但其前提是必须得到特定模态在特定位置的波形，并且模态频散的抑制也仅仅是在特定的位置，这在一定程度上也限制了该技术的应用。实际应用中，通过传感器的特殊布置以及选择合适的频率，即可以获得非频散导波。最优频率的选择和合理的传感器布置对非频散波的产生至关重要，一般来说，传感器数量越多，所激励的轴对称导波就越理想。
第4章 时间反转技术
4.1 传统方式对管道进行损伤检测
1999年Masahiko Hirao et al [12]通过激励周向传播的SH1和SH0导波对钢管腐蚀损伤进行检测，检测过程中沿管道移动周期性永久电磁铁构成的电磁声传感器来发射、接收导波信号。研究发现SH1模态导波的幅度与相位比SH0模态对管道内的缺陷更敏感，且此方式在管道被树脂覆膜紧裹的情况下也可以达到很好的检测效果；SH0模态导波的相位偏移和剩余壁厚有着很好的关系。因此，将两者中SH模态的导波同时用于对结构腐蚀的检测会有很好的互补作用。
周期排布永久电磁铁电磁声传感器通过一个同向双工器和一个高阻尼前置放大器和一个超外差相敏检测器连接。电磁声传感器的排布格式如图4.1所示，其中delta等于7.53mm，即一个SH波的长度。EMAT被放置于管道内部用于激励和接受沿管道轴向周向传播的SH波。结果表明，第一次接受到的回波信号的幅度和相位将会对信号的检测十分有用。