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,
其中， ，i=1，2，3， ，n表示与第i的节点运动方向一致的节点个数。
3、系统密度
针对Vicsek模型，定义：
,
表示系统每平方米存在的节点个数，其中N为系统节点个数，A为系统所占据区域的面积，又定义：
，
即每个节点无线发射机所覆盖的倒数，表示覆盖没平方面积需要的节点个数。根据 、 即可定义系统密度概念，定义：
，
其意义表示系统中包含的节点个数相对于覆盖整个区域所需节点个数的比率，当该比率为1时，表示节点数恰好能覆盖整个区域； 越大，表示系统中节点越密； 越小，表示系统中节点数越疏。引入系统密度的概念主要为了把R和绝对密度 联系起来，便于分析二者对系统一致性的影响，因为系统中节点的疏密程度是由两者共同决定的。
4、Vicsek模型系统参数
可能影响每个节点并最终影响整个系统性能的参数包括节点的邻居半径R,节点的运动速率等，而且现有的理论研究[23][24]也表明节点在指定区域的分布密集程度对系统能否一致有影响。事实上，影响Vicsek模型一致性的根本在于系统邻居图的拓扑关系，而节点邻居半径R、运动速率v和节点分布密度恰是影响系统节点间拓扑关系变化的原因[21]。
2．3 代数图论
将单个智能体视为一个点,将智能体之间的信息关系视为一条边,运用图论的有关知识可以表示智能体之间的相互关系。于是借助图论来研究多智能体系统的各种行为是一种行之有效的方法。下面简单介绍图论的相关内容[8]。
一般地,我们通过有向图或者无向图来描述系统中每个个体之间的信息传输。图论是我们经常用到的工具[5]。一个图是一组点和边的集合。令 代表一个加权有向图,其中, 为节点集合,一个节点就代表一个个体, 为有向边集合,用来表示个体间的信息交互。矩阵A表示相应边上的权值矩阵,设有向图G有n个节点,则 是一个 阶的邻接矩阵, 表示从节点到节点的权值。在有向图中,对于任意一个节点 ,接收到边数目的和称为 的入度；同理,从该节点发出的边的数目和称为 的出度。如果 ,则称节点 是节点 的邻居。节点 的邻居集合为 。节点 的入度和出度分别定义为
当G中的每个节点的出度等于入度时，我们称有向图 为平衡图
2. 4 总结
鉴于Vicsek模型在十几年的发展过程中，产生了很多对模型的改进和研究者的假设条件，本章介绍了本课题对Vicsek模型所做的设定以及相应数学描述。在充分了解了这些关于一致性算法的基础知识后，才能进一步研究一致性算法问题。
3 一致性算法介绍
3．1 引言
一致性协议就是智能体之间信息交换的准则，又成为一致性算法。为了实现某种目标，通常采用不同的算法。一致性算法受到了很多领域的学者的关注，并得以广泛的应用到许多实际领域[8]。
图 1 一致性算法的两个等价形式：（a）由个体构成的邮箱网络，其中每个个体为一个积分器,如果个体i和个体j之间存在连边,那么个体就能获得邻居个体的信息网络连接系统的块状图,每个系统的传递函数为 ,整个网络系统是一个多输入多输出（MIMO）线性系统且具有对角化式传递函数。
在上图1（b）中,我们通常用图来表示多个体之间的信息的传递,就如图1（a）表示。我们考虑由n个多个体 组成的系统,如果所有个体的状态最终趋于相等，也就是 ,我们称系统趋于一致[5]。
3．2 连续时间一致性算法
目前研究连续时间系统的一致性算法主要分为一阶积分器系统,二阶积分器系统和高阶积分器系统,非线性系统等几种类型[8]。
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