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常见的一阶积分器系统为 （3.1）其中 是第i个智能体的状态，是其控制输入。常见一致性算法基本形式如下：
（3.2）
其中 表示智能体i在t时刻的邻居, 表示对智能体j传给智能体i的信息所加的权重,当智能体j没有向智能i体传输信息时, ,因此 。如果每个个体的邻居不随时间变化,则对应的系统拓扑结构为固定拓扑结构。在固定的拓扑结构下,系统（3.1）,（3.2）可以用线性时不变系统表示为
(3.3)其中,矩阵L是该网络拓扑结构对应的拉普拉斯矩阵。
由线性系统理论可知,系统（3.3）的稳定性由矩阵L的特征值所决定。0特征值对于多智能体是否取得一致性有着很重要的作用。文献[14]指出对于连通的无向网络,L是正半定的,且0是其单重特征值,系统(3.3)可以取得平均一致性。但是实际中智能体个体之间的信息交流通常是有方向性的,即多智能体系统的网络拓扑通常是有向图。文献[14]指出当有向拓扑图强连通时多智能体达到一致性的充要条件是了 。
在现实的多智能体网络中,由于故障或突变而引起链接关系断裂或重建,多智能体的网络拓扑通常是时变的,它们一般为切换拓扑结构。切换拓扑结构的多智能体系统可以表示为
（3.4）其中 是t时刻网络拓扑图对应的拉普拉斯矩阵,该系统在s个模态中切换。对于无向网络,只要所有网络拓扑图的并连通,多智能体系统（3.4）即可取得一致性。对于有向网络,文献[9]证明切换时刻为 满足 ,如果存在一个有界不重叠时间区间 ,经过每个这样的时间区间,跟随者能够与它的leader相连接,则多智能体系统能够取得一致性。这里对切换频率有要求,只有在切换周期有一定长度时,才能取得一致性。
进一步的,文献[14]运用镜面反射(Mirror Graph)的方法降低了对切换的要求,他们指出,如果网络拓扑G是平衡图,那么 是有效的李雅普诺夫矩阵,在网络拓扑是平衡图的前提下,对于任意的切换信号和初始状态,多智能体系统都能取得一致性。
文献[16]再一次弱化了多智能体系统达到一致性的条件,作者运用不可分解非周期随机矩阵(indecomposable and aperiodic stochastic matrix)理论证明,对无限切换时间序列 ,如果存在一致有界不重叠时间区间 的无穷序列,当经过这些无穷时间序列时,如果拓扑图的并有生成树,那么多智能体系统可以取得一致性。这一结论成为切换拓扑网络一致性研究的开创性工作。
在实际中,一些振荡器,例如,和谐振荡器,单摆都是由二阶动态系统来控制的。因此,研究由二阶振荡器构成的多智能体系统的一致性问题是很必要的。
常见的连续时间二阶积分器模型为：
其中 分别表示第个智能体的位移,速度,加速度。
二阶动态系统的一致性问题关注一群自治的智能体如何取得一致性,与一阶智体系统相比,即使网络拓扑包含有向生成树,二阶积分器动态系统依然难以取得一致性[25]。
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