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    （2）用牛顿力学的方法建立直线一级倒立摆数学模型，计算出相关状态方程式，并用控制理论的方法对倒立摆系统进行能观能控性及稳定性的分析。
    （3）研究倒立摆的稳定控制方案，设计线性二次最优控制器，并编写相关程序。然后利用MATLAB进行仿真实验，调整参数，对比结果，得出几种状态的仿真曲线，选定最佳参数，进行实时控制，实现倒立摆的二次最优控制。
    （4）分析直线一级倒立摆起摆过程，并结合二次最优控制结果，运用能量控制策略实现直线一级倒立摆的自动摆起控制。
    （5）总结整理，撰写论文内容。
    2 倒立摆系统建模和定性分析
    2.1 直线一级倒立摆的数学模型
    系统的数学模型，是指利用数学结构来反应实际系统内部之间、系统内部与外部某些主要相关因素之间的精确的定量表示。数学模型是分析、设计、预测及控制一个系统的理论基础。
    系统数学模型的构建可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入－输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系。
    2.1.1 倒立摆系统建模假设与符号说明
    对于倒立摆系统，由于其自身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。下面我们采用其中的牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
    在忽略了空气阻力和各种摩擦之后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图2.1所示。
    可以做以下假设：
    M：小车质量
    m：摆杆质量
    b：小车摩擦系数
    l：摆杆转动轴心到杆质心的长度
    I：摆杆惯量
    F：加在小车上的力
    x：小车位置
     ：摆杆与垂直向上方向的夹角
     ：摆杆与垂直向下方向的夹角（考虑到摆杆初始位置为竖直向下）
     
    图2.1 直线一级倒立摆模型
    2.1.2 牛顿力学建模
    图2.2是直线一级倒立摆系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N 和 P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量。（由于在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定，因而矢量方向定义如图所示，图示方向为矢量正方向。）
     
    图2.2 小车及摆杆受力分析
    分析小车水平方向所受的合力，可以得到以下方程：
                                                   (2.1)
    对摆杆水平方向的受力情况进行分析可以得到下面等式：
                           (2.2)
    即：
                      (2.3)
    把这个等式代入式(2.1)中，可以得到系统的第一个运动方程：                   （2.4）
    为了推出系统的第二个运动方程，需要对摆杆垂直方向上的合力进行分析，分析后可以得到下面的方程：
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