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                          (2.5)
                      (2.6)
    力矩平衡方程如下：
                          (2.7)
    对于此方程中力矩的方向，由于 ，cosφ = −cosθ，sinφ = −sinθ ，故等式前面有负号。
    合并这两个方程，约去 P 和N，得到第二个运动方程：
                    (2.8)
    设 （ 是摆杆与垂直向上方向之间的夹角），假设 与 1（单位是弧度）相比很小，即φ <<1，则可以进行近似处理：cosθ = −1，sinθ = −φ， 。用u 来代表被控对象的输入力F，线性化后两个运动方程如下：
                       （2.9）
    对式(2-9)进行拉普拉斯变换，得到：
            （2.10）
    由于输出为角度φ ，求解方程组的第一个方程，可以得到：
                   （2.11）
    或
                    （2.12）
    令v=x，则有：
                    （2.13）
    把上式代入方程组的第二个方程，得到：  （2.14）
    整理后得到传递函数：
               （2.15）
    其中
    设系统状态空间方程为：
                         （2.16）
    方程组 对 解代数方程，得到解如下    （2.17）
    整理后得到系统状态空间方程：
       （2.18）
    由(2-9)的第一个方程为：
     
    对于质量均匀分布的摆杆有：
     
    于是可以得到：
     
    化简得到：
                        （2.19）
    设 则有：
               （2.20）
    2.1.3 实际系统模型
    本课题用的是固高科技有限公司的直线一级倒立摆，此设备参数如下:
        M 小车质量 1.096 Kg
        m 摆杆质量 0.109 Kg
        b 小车摩擦系数 0 .1N/m/sec
        l 摆杆转动轴心到杆质心的长度 0.25m
        I 摆杆惯量 0.0034 kg*m*m
    把上述参数代入，可以得到系统的实际模型。
        摆杆角度和小车位移的传递函数：            （2.21）
        摆杆角度和小车加速度之间的传递函数为：            （2.22）
        摆杆角度和小车所受外界作用力的传递函数：     （2.23）
    以外界作用力作为输入的系统状态方程：   （2.24）
        以小车加速度作为输入的系统状态方程：           （2.25）
    2.2 倒立摆系统的定性分析
    在得到倒立摆系统的实际模型后，就可以运用控制理论的相关知识对其稳定性和能控能观性进行分析。
    式2.25可以写成如下通式：其中：
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