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近年来在很多领域都已经开始应用分数阶微积分理论，如在自动控制领域出现的分数阶控制理论等新的分支。但分数阶微积分的研究仍处于初步阶段，在许多方面仍有极大的研究价值和潜力。
本文主要研究了关于分数阶微积分，分数阶控制系统，分数阶 控制器三个主要内容。
1.1 研究背景
现如今，几乎所有的微分方程描述的控制系统其微分均考虑为整数阶。实际上，许多物理系统因其特殊的材料和化学特性用整数阶系统来描述并不是很准确。例如电化学过程，热传导现象，扩散现象和粘弹性模型都是分数阶系统，若用整数阶系统去描述则会失去系统研究的准确性。采用分数阶描述那些本身带有分数阶特性的对象时,能更好地揭示对象的本质特性及其行为。之所以忽略系统的实际阶次(分数阶) ,主要是因其复杂性和缺乏相应的数学工具。近年来,这一“瓶颈”正被逐渐克服,相关成果不断涌现. 当然,目前对分数阶系统的研究还不深入,主要集中在线性时不变领域,在系统建模、分析和综合及参数估计、系统辨识等方面均有涉及。需指出的是:“分数阶”一词只是沿用历史的习=惯称谓. 从严格的数学意义上讲,应称之为“非整数阶”,理论上阶次可以是任意的,包括无理数,甚至复数.当然“, 非有理阶次”的研究迄今未见报道.广义而言,分数阶控制研究至少应涵盖3 个方面:1) 基于对分数阶对象的刻画更准确、简洁的目的而建立的分数阶系统模型及其分析。2) 基于获得更优控制性能目的而选用分数阶控制策略。3) 应用分数阶运算对信号、数据等进行处理。
1.2 研究现状
自20 世纪60 年代分数阶微积分应用于控制领域以来,分数阶控制的研究经历了一段相当长的缓慢发展岁月,直到20 世纪末出现了一些令人瞩目的成果, 如: Oustaloup 等提出了CRONE 控制原理 ，Matignon 研究了分数阶系统的稳定性、可控性、可观性; Podlubny 研究了 控制器。其中为分数阶控制理论的发展作出突出贡献的当属Podlubny 。其基本结论、思想和方法影响深远,尤其是他提出了 控制器. 控制器的出现是一个里程碑,分数阶控制的意义在于对古典整数阶控制的普遍化 . 直到今天,Podlubny 仍活跃在分数阶控制研究的前沿. 目前国内还没有关于分数阶系统完整的公开出版物.
1.3 分数阶系统中应用的关键技术
分数阶控制系统技术之所以发展的如此缓慢，是因为应用在分数阶控制系统的分数阶微积分的发展比较缓慢。分数阶微积分，简单来讲就是对整数阶微积分理论的拓展。例如，我们一般对某个性质较好的可导函数，可以求出它的一阶导数、二阶导数、、n 阶导数。那么我们是否可以对函数求分数阶导数呢？答案是肯定的。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。 在数值算法方面主要存在的问题有：（1）长时间历程问题一直没有找到一个满意的解决途径，在数值模拟中，随着时间历程的增加计算量成指数增长。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。（2）在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件。（3）分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。现阶段，分数阶导数方程的数值算法主要包括：（1）有限差分法：显示格式，隐式格式，Crank-Nicholson格式，预估校正算法，线性算法等；（2）级数逼近法：变分迭代法，Adomian分解法，同伦摄动法，通论分析法，微分转换法等；（3）有限元法；（4）无网格方法；（5）一些新的算法：矩阵转化法，外推法等。