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将Riemann-Liouville定义的分数阶积分(2.33)写成 , 的卷积形式：
(2.36)
根据式(2.31)得到Riemann-Liouville定义的分数阶积分(2.4)的Fourier变换：
(2.37)
类似地，Grunwald-Letnicov定义的 (2.1)和Caputo定义(2.4)的分数阶积分的Fourier变换为式(2.37)。
2.4.3 分数阶微分的Fourier变换
以Riemann-Liouville定义的分数阶微分式(2.7)为例，介绍分数阶积分的
Fourier变换。
根据式(2.4)得到：
（2.38）
其中，n-1<α<n
根据式(2.32)和(2.37)得到Riemann-Liouville定义的分数阶微分(2.7)的Fourier变换：
(2.39)
类似地，Caputo定义的分数阶微分(2.9)的Fourier变换为式(2.39)。
2.4.4 分数阶微分方程和传递函数
一个分数阶系统可以用分数阶微分方程的来描述：
(2.40)
也可以用传递函数来描述：
(2.41)
式(2.40)和(2.41)中， , (k=0,1,,n), (j=0,1,,m)为任意常量， (k=0,1,,n), (j=0,1,,m)为任意实数，而且 ， 。
2.4.5 分数阶微分方程的解析解法
用解析方法求解方程(2.40)所描述的系统的单位冲激和单位阶跃响应时，需要得到传递函数(2.41)的Laplace反变换。由于传递函数(2.41)是分数阶，而现有的Laplace反变换公式都是针对传统整数阶传递函数，所以提出新的Mittag-Leffler函数，帮助求解分数阶微分方程。分数阶微分方程解析解法主要用于理论证明和公式推导。
2.4.5.1 解析解法中的基本函数
1. Mittag-Leffler函数
Mittag-Leffler函数的定义：
（2.42）
当 = =1时，
可以看出Mittag-Leffler函数是指数函数 的一般形式， 是它的特殊情况。Mittag-Leffler函数的n阶导数：
（2.43）
2. 函数
令 （2.44）
的拉氏变换：
（2.45）
的分数阶微分：
（2.46）
2.4.5.2 分数阶微分方程的解析计算
考虑分数阶微分方程：
（2.47）