(2.6)
2.Riemann-Liouville分数阶微分定义
(2.7)
其中n-1<α<n,n为整数, ,Γ(.)为Gamma函数。
利用公式(2.4)可以推导出Riemann-Liouville分数阶微分定义。在m阶积分
的基础上,作n阶微分(m为非整数,n为整数,n>m)得到n-m=α阶微分。
(2.8)
2.1.3 Caputo定义
1.Caputo分数阶积分定义
与Riemann-Liouville分数阶积分定义相同,见公式(2.4)。
2. Caputo分数阶微分定义
(2.9)
其中n-1<α<n,n为整数, ,Γ(.)为Gamma函数。
与Riemann-Liouville定义相比Caputo定义的分数阶微分主要有两个优点:
(1)在计算分数阶微分时,利用Caputo定义,可以直接将初始条件,如 , 带入到式(2.9)中,然而利用Riemann-Liouville定义,却不能直接带入式(2.8)中。
(2)Caputo定义的分数阶微分对于常数的微分是有界的,等于0,而Riemann-Liouville定义的分数阶微分在 时,对于常数的微分是无界限的,除非 是起始点它对常数的微分才为0,然而对于暂态过程分析,不可能将起始点设为 ,在这种情况下,采用Caputo定义更合适。
2.2 分数阶微积分的性质
根据上述的分数阶微积分定义,可以得到分数阶微积分的主要性质如下:
1.分数阶微分的记忆性质
从分数阶微分的定义式(2.1)(2.7)(2.9)可以看出,函数f(t)在某点上的分数阶微分与整数阶微分不同,分数阶微分不是在该点处求极限,而是与初始时刻到该点以前的所有时刻的函数值有关,所以它具有记忆性。
2.分数阶微积分的线性性质
(2.10)
3.分数阶微积分的叠加性质
(2.11)
4.当f(t)是t解析函数时, 是t和α的解析函数。
5. 当α=n,n为整数时,分数阶微分与整数阶完全一致,且
(2.12)
2.3.分数阶微积分的Laplace变换
2.3.1 Laplace变换的定义与性质
函数f(t)的Laplace变换是复变量s的函数F(s):
(2.13)
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