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函数F(s)通过Laplace反变换得到原函数f(t):
(2.14)
函数f(t)和g(t)的卷积:
(2.15)
其中,t<0时,f(t)=0,g(t)=0
函数f(t)和g(t)卷积(2.15)的Laplace变换:
(2.16)
其中,函数F(s)和G(s)分别是f(t)和g(t)的Laplace变换函数f(t)的n阶微分的Laplace变换:
(2.17)
根据Laplace变换定义(2.13)可见,在Laplace变换中,积分下限为0,所以在下面分数阶微积分的Laplace变换中令积分下限 。
2.3.2 分数阶积分的Laplace变换
以Riemann-Liouville定义的分数阶积分式(2.4)为例,介绍分数阶积分的Laplace变换。
根据式(2.4)和(2.15)得到:
(2.18)
其中,p>0。
函数 的Laplace变换:
(2.19)
根据(2.16)得出Riemann-Liouville定义的分数阶积分式(2.4)的Laplace变换:
(2.20)
其中,p>0
类似地,Grunwald-Letnicov定义的 (2.1)和Caputo定义(2.4)的分数阶积分的
Laplace变换为公式(2.20)。
2.3.3 分数阶微分的Laplace变换
以Riemann-Liouville定义的分数阶微分式(2.7)为例,介绍分数阶积分的Laplace变换。
设 (2.21)
(2.22)
其中,n-1<p<n
根据整数阶微分的Laplace变换(2.17),可以得到:
(2.23)
根据公式(2.20)得到函数g(t)的Laplace变换:
(2.24)
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