其中,
方程(2.47)拉氏变换:
其中, 为多项式系数。
根据公式(2.45)得到 的拉氏反变换:
(2.50)
根据传递函数(2.41)和(2.48),得到:
(2.51)
得到G(s)的反拉氏变换:
(2.52)
根据公式(2.51)和(2.50)计算出 。
的单位冲激响应:
根据公式(2.46)和(2.50),得到 的单位阶跃响应:
(2.53)
同理,根据公式(2.46),(2.50),(2.51)可以得到 的单位冲激与单位阶跃响应。
2.5 分数阶微分方程的数值解法
分数阶微分方程的数值解法依然是现代数学家重要的研究课题,在工程应用得更广泛。
2.5.1 分数阶微分方程的时域数值计算
1.分数阶微积分算子的时域近似
根据Grunwald-Letnicov定义(2.1)得到: (2.54)
其中, , , , ,h为计算步长即采样时间。当t不断增大时,n不断增大,计算量越大,(2.54)式需要使用所有的历史数据点,为了提高计算效率,在误差允许的范围内,指定记忆长度,忽略较早的数据点,得到:
其中,L为记忆长度, 。h越小,L越长,利用公式(2.60)近似计算的分数阶微积分的值越精确。
2.分数阶微分方程的数值计算考虑分数阶微分方程(2.40):
利用式(2.54)近似方程(2.40)中的微分算子,将(2.40)转化为在离散时间序列 上的离散方程:
其中, , , 为输入序列。
同样,如果指定微分算子的记忆长度L,可以利用式(2.55)近似方程(2.40),相应地得到式(2.56)和(2.57)(两式中的 ),最后求出序列 。
2.5.2 分数阶微分方程的Z域数值计算
1.分数阶微积分算子的Z域离散公式
(1)Grunwald-Letnicov或一阶向后差分 (2.58)
其中, 是离散近似算子
(2)二阶向后差分 (2.59)
(3) 三阶向后差分的MacLaurin展开式 (2.60)
(4) Tustin公式 (2.61)
(5) Simpson公式 (2.62)
(6)Al-Alaoui公式
(2.63)
(7) 转换公式
(2.64)
公式(2.64)的重要性在于分数阶微积分算子的离散公式 有些在v>0时的近似效果比在v<0时要好,或者情况相反,所以应用公式(2.64)可以在分数阶微分近似和分数阶积分近似中选择较好近似方法。
(8)连续近似公式的离散化
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